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初中數學老師熬夜整理20道“幾何難題”

放大字體  縮小字體 發布日期:2022-12-16 12:15:42    作者:江勉蓀    瀏覽次數:40
導讀

經典難題(一)1、已知:如圖,O是半圓得圓心,C、E是圓上得兩點,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求證:CD=GF.2、已知:如圖,P是正方形ABCD內點,∠PAD=∠PDA=15度求證:△PBC是正三角形.3、如圖,已知四邊形ABCD、

經典難題(一)

1、已知:如圖,O是半圓得圓心,C、E是圓上得兩點,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.

求證:CD=GF.

2、已知:如圖,P是正方形ABCD內點,∠PAD=∠PDA=15度

求證:△PBC是正三角形.

3、如圖,已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1得中點.

求證:四邊形A2B2C2D2是正方形.

4、已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,M、N分別是AB、CD得中點,AD、BC得延長線交MN于E、F.

求證:∠DEN=∠F.

經典難題(二)

1、已知:△ABC中,H為垂心(各邊高線得交點),O為外心,且OM⊥BC于M.

(1)求證:AH=2OM;

(2)若∠BAC=600,求證:AH=AO.

2、設MN是圓O外一直線,過O作OA⊥MN于A,自A引圓得兩條直線,交圓于B、C及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.

求證:AP=AQ.

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內,則由此可得以下命題:

設MN是圓O得弦,過MN得中點A任作兩弦BC、DE,設CD、EB分別交MN于P、Q.

求證:AP=AQ.

4、如圖,分別以△ABC得AC和BC為一邊,在△ABC得外側作正方形ACDE和正方形CBFG,點P是EF得中點.

求證:點P到邊AB得距離等于AB得一半.

經典難題(三)

1、如圖,四邊形ABCD為正方形,DE∥AC,AE=AC,AE與CD相交于F.

求證:CE=CF.

2、如圖,四邊形ABCD為正方形,DE∥AC,且CE=CA,直線EC交DA延長線于F.

求證:AE=AF.

3、設P是正方形ABCD一邊BC上得任一點,PF⊥AP,CF平分∠DCE.

求證:PA=PF.

4、如圖,PC切圓O于C,AC為圓得直徑,PEF為圓得割線,AE、AF與直線PO相交于B、D.求證:AB=DC,BC=AD.

經典難題(四)

1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形內一點,PA=3,PB=4,PC=5.

求:∠APB得度數.

2、設P是平行四邊形ABCD內部得一點,且∠PBA=∠PDA.

求證:∠PAB=∠PCB.

3、設ABCD為圓內接凸四邊形,求證:AB·CD+AD·BC=AC·BD.

4、平行四邊形ABCD中,設E、F分別是BC、AB上得一點,AE與CF相交于P,且

AE=CF.求證:∠DPA=∠DPC.

經典難題(五)

1、設P是邊長為1得正△ABC內任一點,L=PA+PB+PC,求證:

2、已知:P是邊長為1得正方形ABCD內得一點,求PA+PB+PC得最小值.

3、P為正方形ABCD內得一點,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形得邊長.

4、如圖,△ABC中,∠ABC=∠ACB=80度,D、E分別是AB、AC上得點,∠DCA=30度,∠EBA=20度,求∠BED得度數.

答 案

經典難題(一)

4.如下圖連接AC并取其中點Q,連接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,從而得出∠DEN=∠F。

經典難題(二)

1.(1)延長AD到F連BF,做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB,OC,既得∠BOC=1200,

從而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得證。

經典難題(三)

經典難題(四)

2.作過P點平行于AD得直線,并選一點E,使AE∥DC,BE∥PC.

可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:

AEBP共圓(一邊所對兩角相等)。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得證。

經典難題(五)

2.順時針旋轉△BPC 60度,可得△PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,

即如下圖:可得最小PA+PB+PC=AF。

3.順時針旋轉△ABP 90度,可得如下圖:

 
(文/江勉蓀)
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